Analisi 2

1 – Funzioni di due o più variabili reali

Limiti e continuità; teorema di Weierstrass. Derivate parziali, vettore gradiente, derivate direzionali: interpretazioni fisiche e geometriche. Curve (superfici) di livello. Differenziale, piano tangente, approssimazione lineare locale. Condizioni necessarie per la differenziabilità, formula del gradiente; condizione sufficiente di differenziabilità. Funzioni composte; regola di derivazione.  Teorema del valor medio. Derivate seconde, teorema di Schwarz, matrice hessiana; differenziale secondo. Formula di Taylor al secondo ordine. Forme quadratiche e loro classificazione: metodo degli autovalori per il riconoscimento delle forme quadratiche. Ottimizzazione libera: punti stazionari; uso della formula di Taylor per il riconoscimento di massimi e minimi locali. Funzioni convesse. Ottimizzazione vincolata; metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Continuità e differenziabilità: matrice Jacobiana. Differenziabilità delle funzioni composte.

2 – Integrali doppi e tripli 

Integrale doppio di una funzione continua su un rettangolo e su domini x-semplici o y-semplici: proprietà ed applicazioni fisiche e geometriche (volumi, baricentri, momenti d’inerzia). Cambio di variabili; coordinate polari. Integrale triplo di una funzione continua. Formule di riduzione. Coordinate cilindriche e sferiche. Cenni agli integrali impropri doppi e tripli.

3 – Curve

Curve in forma parametrica nel piano e nello spazio.  Curve regolari e regolari a tratti. Lunghezza di un arco di curva regolare. Integrale in ds.

4 – Serie trigonometriche e serie di Fourier

Serie di funzioni. Convergenza semplice e convergenza totale. Serie di potenze: raggio e cerchio di convergenza; serie di Taylor; serie esponenziale nel campo complesso. Polinomi trigonometrici e serie trigonometriche. Coefficienti e serie di Fourier di una funzione periodica. Approssimazione in media quadratica. Disuguaglianza di Bessel e uguaglianza di Parseval. Convergenza puntuale di una serie di Fourier. Forma esponenziale della serie di Fourier. Proprietà di regolarità della somma di una serie di Fourier.

 6 – Equazioni differenziali ordinarie 

Modelli della meccanica classica e della dinamica delle popolazioni. Generalità: ordine, soluzione; problema di Cauchy. Riduzione di un’equazione scalare di ordine n ad un’equazione vettoriale del I ordine. Teorema di esistenza e unicità locale della soluzione di un problema di Cauchy per y’=f(t,y) con f funzione C1. Studio qualitativo di equazioni differenziali.

Equazioni differenziali lineari scalari: principio di sovrapposizione, struttura dello spazio delle soluzioni dell’equazione omogenea e di quello dell’equazione completa.

Integrale generale delle equazioni lineari del primo ordine. Equazioni lineari del secondo ordine omogenee: lo spazio delle soluzioni ha dimensione 2; costruzione di un sistema fondamentale di integrali particolari per l’equazione omogenea a coefficienti costanti, ricerca di una soluzione particolare dell’equazione completa. Vibrazioni libere, vibrazioni smorzate, vibrazioni forzate (in assenza di attrito). Equazioni di Eulero.

7 – Sistemi differenziali lineari 

Sistemi lineari: principio di sovrapposizione, struttura dello spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo e di un sistema non omogeneo. Sistemi lineari omogenei: dimensione dello spazio delle soluzioni; sistema fondamentale di soluzioni; matrice Wronskiana. Sistemi lineari omogenei autonomi: costruzione di un sistema fondamentale di soluzioni per il sistema bidimensionale. Sistemi lineari completi: metodo della variazione delle costanti arbitrarie.

8 – Sistemi dinamici.

Sistemi autonomi. Derivata lungo le traiettorie. Integrale primo o costante del moto.