Analisi 2

Descrizione

Equazioni differenziali ordinarie

Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: esempi di modelli differenziali, concetti di: equazione differenziale di ordine n, soluzione, integrale generale, condizioni iniziali, problema di Cauchy, soluzione del problema di Cauchy.

Equazioni del prim’ordine. Equazioni a variabili separabili. Procedimento per trovare l’integrale generale. Teorema di esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy per queste equazioni. Esempi. Equazioni del prim’ordine lineari. Struttura dell’integrale generale per le equazioni lineari. Procedimento per trovare l’integrale generale. Teorema di esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy per queste equazioni. Esempi.

Equazioni del second’ordine. Richiami sugli spazi di funzioni C^k e sugli operatori lineari. Equazioni del second’ordine lineari. Struttura dell’integrale generale. Problema di Cauchy. Ricerca dell’integrale generale per le equazioni omogenee a coefficienti costanti. Ricerca di una soluzione particolare dell’equazione completa mediante il “metodo di somiglianza”: discussione di alcuni casi: polinomio, esponenziali, funzioni trigonometriche…
Esempi di alcune equazioni lineari del second’ordine di particolare interesse fisico.

[La parte di programma relativo alle equazioni differenziali del second’ordine si avvarrà anche dell’uso di un MOOC dedicato a questo argomento].

2. Calcolo infinitesimale per le curve

Generalità sugli oggetti del calcolo infinitesimale in più variabili. Lo spazio Rⁿ; richiami di calcolo vettoriale. Limiti, continuità, derivabilità, integrale per funzioni vettoriali di variabile reale. Regole del calcolo differenziale vettoriale.

Arco di curva continua; curva chiusa; orientamento; curva regolare. Vettore tangente. Curve piane in forma polare.

Curve rettificabili; lunghezza di un arco di curva, lunghezza d’arco elementare, parametro arco. Lunghezza di un grafico, lunghezza di una curva in forma polare. Integrali di linea (di prima specie). Invarianza per cambiamento regolare di parametrizzazione e per cambiamento di orientazione. Applicazioni fisiche: calcolo di masse, baricentri, momenti d’inerzia.

3. Funzioni reali di più variabili reali

Generalità sulle funzioni di più variabili. Grafico, linee di livello, esempi.

Limiti e continuità. Definizione di limite e di funzione continua per funzioni di più variabili. I teoremi su limiti e continuità. Calcolo di limiti in più variabili che coinvolgono forme di indeterminazione: il metodo delle restrizioni per provare la non esistenza del limite; il metodo delle maggiorazioni mediante funzioni radiali per provare l’esistenza del limite.

Topologia e proprietà delle funzioni continue. Topologia in Rⁿ: intorni sferici; punti interni, esterni, di frontiera di un insieme; insiemi aperti, chiusi; interno, frontiera, chiusura di un insieme. Insiemi limitati, insiemi connessi (per archi). Teorema di Weierstrass e Teorema degli zeri per funzioni continue reali di più variabili.

Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili. Derivate parziali, piano tangente; definizione di funzione derivabile, vettore gradiente. Definizione di differenziabilità, differenziale, approssimazione lineare. Condizione sufficiente per la differenziabilità. Derivate direzionali, formula del gradiente. Formule di calcolo delle derivate, derivazione di funzioni composte. Gradiente e direzione di massima pendenza; ortogonalità del gradiente alle linee di livello. Condizioni di continuità e di differenziabilità di funzioni radiali e di funzioni positivamente omogenee.

Derivate successive. Teorema di Schwarz. Differenziale secondo. Matrice Hessiana. Formula di Taylor al second’ordine con resto secondo Lagrange e secondo Peano.

Ottimizzazione libera: teorema di Fermat; richiami su forme quadratiche in n variabili, test degli autovalori, in particolare studio del segno delle f.q. in due variabili. Studio della natura dei punti stazionari mediante la matrice hessiana. Studio di punti stazionari nel caso in cui il test dell’hessiana è dubbio: tecnica delle restrizioni per provare che un punto è di sella; studio diretto del segno dell’incremento per provare che un punto è di massimo, minimo o sella.

Funzioni definite implicitamente. Definizione di funzione (di una variabile) definita implicitamente da un’equazione; esempi e contresempi, teorema di Dini; linee di livello.

Ottimizzazione vincolata mediante un solo vincolo, non esplicitabile. Metodo del moltiplicatore di Lagrange.

Elementi di calcolo differenziale per funzioni di più variabili a valori vettoriali. Differenziabilità per funzioni da Rⁿ a R^m: definizione, condizioni sufficienti per la differenziabilità, matrici jacobiane, teorema sul differenziale della funzione composta. Trasformazioni regolari di coordinate: definizione, teorema di invertibilità locale. Calcolo della matrice jacobiana e del suo determinante per le coordinate polari, cilindriche, sferiche. Gli operatori differenziali divergenza, rotore. Superfici regolari in forma parametrica.

4. Calcolo integrale per funzioni di più variabili

Integrali doppi. Concetti fondamentali. Definizione di integrale doppio per una funzione di due variabili su un rettangolo. Integrabilità delle funzioni continue su un rettangolo. Esempio di funzione non integrabile. Teorema di riduzione per funzioni continue su un rettangolo. Esempi. Definizione di integrale doppio per una funzione definita su un insieme limitato qualsiasi di Rⁿ. Esempio di una funzione continua non integrabile su un certo dominio. Definizione di dominio semplice, regolare, nel piano. Integrabilità delle funzioni continue sui domini regolari. Insiemi misurabili, area di un insieme, insiemi di misura nulla. Proprietà elementari dell’integrale doppio.

Il calcolo degli integrali doppi. Formula di riduzione dell’integrale doppio su un insieme semplice mediante integrale iterato. Esempi di calcolo di integrali iterati, osservazioni sull’utilizzo di eventuali simmetrie. Calcolo di aree, baricentri e momenti d’inerzia di lamine piane. Cambiamento di variabili negli integrali doppi: formula dello jacobiano, calcolo di integrali in coordinate polari o simili.

Integrali doppi generalizzati, esempi. L’integrale notevole della gaussiana.

Il calcolo degli integrali tripli. Calcolo mediante integrale iterato (integrazione per fili o per strati); cambi di variabili (cilindriche, sferiche…). Definizione e calcolo di volumi, baricentri, momenti d’inerzia.

5. Campi vettoriali e calcolo integrale vettoriale

Campi vettoriali e lavoro. Generalità sui campi vettoriali. Lavoro o integrale di linea (di seconda specie) di un campo vettoriale; indipendenza dalla parametrizzazione, dipendenza dall’orientazione. Campi conservativi e potenziali; calcolo del lavoro di un campo conservativo. Condizioni necessarie perché un campo sia conservativo; aperti semplicemente connessi; condizioni sufficienti. Calcolo effettivo del potenziale di un campo conservativo. L’operatore rotore; campi irrotazionali. Formule di Gauss-Green nel piano.

Area di una superficie, integrale di superficie di una funzione continua. Superfici orientate, bordo di una superficie. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Teorema (di Gauss) della divergenza, teorema (di Stokes) del rotore. Esempi di applicazioni.

6. Serie trigonometriche e serie di Fourier

Generalità sulle serie di funzioni. Convergenza totale di una serie di funzioni e relative proprietà.

Serie trigonometriche. Polinomi trigonometrici e serie trigonometriche; criteri di convergenza per serie trigonometriche. Funzioni periodiche; periodizzazione di una funzione definita su un intervallo.

Serie di Fourier. Richiami su spazi vettoriali con prodotto interno, relazioni di ortogonalità e proiezioni. Sistema trigonometrico: relazioni di ortonormalità; coefficienti di Fourier di una funzione integrabile. Somma parziale di Fourier e sua caratterizzazione geometrica (proiezione sullo spazio dei polinomi trigonometrici di grado fino a n). Disuguaglianza di Bessel e Teorema di Riemann-Lebesgue. Serie di Fourier: convergenza in media quadratica e uguaglianza di Parseval. Convergenza puntuale delle serie di Fourier per funzioni regolari a tratti. Serie di Fourier adattate a un intervallo qualunque. Interpretazioni fisiche delle serie di Fourier.