Analisi 2- POLIMI - ingegneria civile - Maurizio Garrone e Matteo Fogato

argomenti trattati:

• Serie numeriche e integrali impropri
  • Integrali impropri: definizione, esempi, criteri di convergenza. Serie numeriche: definizione, esempi, serie notevoli, criteri di convergenza semplice e assoluta. Serie a segni alterni e criterio di Leibniz.
• Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali
  
  • Cenni di topologia negli spazi euclidei. Definizione di palla aperta, punto interno, punto di frontiera, punto esterno, insieme aperto, chiuso, frontiera, punto di accumulazione, insieme connesso, insieme limitato. Esempi in R^2 e in R^3. Definizione di limite. Continuità. Definizione di derivate parziali e di vettore gradiente. Esempi: l’esistenza delle derivate parziali non implica la continuità. Definizione di vettore normale/di piano tangente al grafico. Definizione di differenziabilità e legame con il piano tangente. Formula del gradiente. Proprietà geometriche del gradiente. Definizione di derivate direzionali. Derivate di ordine superiore. Matrice Hessiana. Teorema di Schwarz. Derivazione di funzioni composte. Funzioni a valori vettoriali. Derivabilità e integrabilità per funzioni a valori vettoriali. Regole di derivazione per funzioni a valori vettoriali. Definizione di differenziabilità. Matrice Jacobiana. Formula di Taylor al secondo ordine per f: R^2->R.
• Ottimizzazione per funzioni di più variabili
  
  • Definizione di massimi e minimi locali. Condizione necessaria per estremante locale. Definizione di punto critico. Definizione di sella locale. Classificazione dei punti critici mediante lo studio della matrice Hessiana. Definizione di punto critico vincolato. Teorema della funzione implicita. Condizione necessaria per avere un estremo vincolato. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Definizione della Lagrangiana.
• Curve parametriche e integrali curvilinei
  
  • Curve in R^n. Cambi di parametrizzazione. Orientazione. Lunghezza di una curva. Lunghezza del grafico di f in C^0([a,b]). Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei di prima specie: definizione e proprietà.
• Calcolo integrale per funzioni di più variabili e lavoro di campi vettoriali
  
  • Integrazione delle funzioni di due variabili su rettangoli. Integrazione delle funzioni di due variabili su domini generali. Insiemi misurabili secondo Peano- Jordan. Insiemi di misura nulla (caratterizzazione). Proprietà degli integrali doppi. Insiemi semplici e regolari. Teorema delle integrazioni successive per domini semplici. Teorema della media del calcolo integrale. Teorema del cambio di variabili negli integrali doppi. Volume dei solidi “a fette”. Integrali tripli. Definizione di funzioni integrabili su parallelepipedi. Definizione di insieme di misura nulla. Definizione di integrabilità su domini limitati. Teorema di riduzione, integrazione per fili e per strati. Teorema del cambio di variabili. Coordinate cilindriche. Coordinate sferiche. Richiami sulla definizione di campo vettoriale. Integrali curvilinei di seconda specie: definizione e proprietà. Campi conservativi. Condizioni equivalenti all’essere un campo conservativo. Domini semplicemente connessi. Un campo F è conservativo se è irrotazionale su domini semplicemente connessi. Calcolo del potenziale di un campo conservativo.
• Superfici e integrali di superficie
  • Superfici parametriche: definizione. Esempi. Vettore normale ad una superficie. Piano tangente ad una superficie. Area di una superficie. Integrali di funzioni definite su una superficie. Superfici con bordo. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Divergenza di un campo. Interpretazione fisica della divergenza e del rotore. Identità contenenti rotore, divergenza e gradiente. Teorema di Gauss-Green nel piano. Teorema della divergenza e teorema di Stokes nello spazio.