Analisi I e Geometria

Insiemi numerici.

Numeri naturali, interi, razionali. Numeri reali, ordinamento e completezza. Estremo superiore ed inferiore di un insieme di numeri reali. Principio di induzione. Fattoriale. Coefficiente binomiale e binomio di Newton. Numeri complessi, piano di Gauss, forma algebrica e operazioni elementari. Forma trigonometrica e forma esponenziale dei numeri complessi. Radici n-esime di un numero complesso.

Calcolo differenziale.

Funzioni, dominio, codominio, rappresentazione cartesiana. Funzioni limitate, simmetriche. Funzioni elementari, funzioni monotone, traslazioni e dilatazione di grafici. Funzioni composte. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Funzioni monotone, funzione inversa, funzioni inverse delle funzioni trigonometriche. Successioni, carattere di una successione. Definizione di limite. Successioni monotone, limitate. Successioni geometriche. Il numero di Nepero e (con dim.). Forme indeterminate di tipo esponenziale. Confronto tra infiniti e tra infinitesimi. Criterio del confronto (con dim.), permanenza del segno. I simboli di Landau o piccolo e asintotico. Limiti e continuità. Asintoti. Limiti notevoli, utilizzo degli asintotici. Funzioni continue, classificazione delle discontinuità. Massimi e minimi relativi e assoluti. Teorema di Weierstrass, teorema degli zeri (con dim.), teorema dei valori intermedi, teorema della permanenza del segno. Definizione di derivata, interpretazioni fisiche e geometriche. Punti di non derivabilità. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione, derivazione della funzione inversa. Teorema di Fermat (con dim.), teorema di Lagrange (con dim.), applicazioni, test di monotonia. Teorema di de l’Hopital (con dim.), derivata seconda, concavità e convessità. Studi di funzione. Formula di Taylor con resto di Peano (con dim.). Formula di McLaurin, esempi. Formula di Taylor con resto di Lagrange, stima dell’errore. Polinomio di Taylor di funzioni composte.

Calcolo integrale.

Integrale alla Cauchy. Integrazione delle funzioni continue. Teorema della media integrale (con dim.). Primo e secondo teorema fondamentale del calcolo integrale (entrambi con dim.). Integrazione per scomposizione, per sostituzione, per parti. Integrazione delle funzioni razionali fratte.

Algebra lineare e geometria analitica.

Matrici e la loro algebra. Vettori, somma e prodotto per uno scalare, norma, vettori linearmente indipendenti. Prodotto scalare e prodotto vettoriale. Prodotto misto tra vettori, calcolo di determinanti 2X2 e 3X3. Rette nel piano e nello spazio. Equazioni parametriche e cartesiane, parallelismo, perpendicolarità. Piani nello spazio, equazione cartesiana, parallelismo, ortogonalità. Rette e piani nello spazio. Distanza da un punto a una retta e a un piano. Spazi vettoriali. Sottospazi vettoriali, complementi ortogonali, proiezioni. Basi ortonormali. Applicazioni lineari, matrici associate alle applicazioni. Determinante di una matrice quadrata di ordine qualunque. Rango di una matrice. Matrice inversa (con dim.). Matrice di un’applicazione lineare (con dim.). Sistemi lineari, teorema di Cramer (con dim.). Sistemi lineari, teorema di Rouché-Capelli. Nucleo e immagine di un’applicazione lineare, teorema di nullità più rango (con dim.). Applicazioni lineari iniettive, suriettive, biunivoche. Autovalori e autovettori. Autovalori e autovettori, matrici diagonalizzabili. Condizione di diagonalizzabilità in termini degli autovettori (con dim.). Autovalori regolari. Determinante e traccia in funzione degli autovalori. Matrici simmetriche, matrici ortogonali.