Appunti Analisi e Geometria 2

Programma del corso

♦ Algebra lineare
Spazi vettoriali Definizione di spazio vettoriale; sottospazi vettoriali, combinazioni lineari, dipendenza e
indipendenza lineare, span e sue proprietà, basi e proprietà,relazioni tra sottoinsiemi massimali e base;
relazione tra indipendenza lineare e base; esistenza di una base per qualsiasi sottospazio vettoriale;
completamento di una base; intersezione e somma di sottospazi, legame tra intersezione
e somma diretta, formula di Grassmann.
Spazi vettoriali dotati di prodotto scalare Prodotto scalare, norma indotta, modulo, proprietà del modulo
(disuguaglianza triangolare, disuguaglianza di Cauchy-Schwartz), distanza. Basi ortonormali, proiezioni ortogonali. Metodo di ortogonalizzazione di Gram–Schmidt e corollari. Proiezione ortogonale ed
elemento di minima distanza.
Matrici Definizione, somma e prodotto e loro proprietà, matrice trasposta; riduzione a scala e MEG; rango di una matrice e sue proprietà. Definizione di matrice inversa e relative proprietà. Definizione di
determinante e relative proprietà. Legame tra invertibilità e determinante.
Sistemi lineari Definizioni, equivalenza tra sistemi. Sistemi omogenei (legame tra rango di A e numero
di soluzioni);nucleo di una matrice, legame tra dimensione del nucleo e rango. Sistemi completi, caratterizzazione delle soluzioni; teorema di Rouché-Capelli; teorema di Cramer. Algoritmo di
Gauss-Jordan.
Trasformazioni lineari Definizione, iniettività e suriettività, nucleo e immagine di una trasformazione e
loro proprietà, teorema di rappresentazione e conseguenze, teorema di nullità più rango e corollari.
Matrici di cambiamento di base. Matrici ortogonali e loro proprietà.
Autovalori e autovettori Definizione di autovalore e autovettore, relative proprietà; teorema spettrale (prima parte). Similitudine e diagonabilizzabilità (legame con la regolarità degli autovalori).
Matrici simmetriche: teorema spettrale (seconda parte); forme quadratiche, legame tra segno e autovalori, studio del segno di una forma quadratica.
♦ Serie
Serie numeriche Definizione, condizione necessaria; serie a termini positivi: criteri del confronto, del confronto asintotico, del rapporto e della radice; serie a termini di segno qualsiasi: convergenza semplice e
assoluta, serie e teorema di Leibniz.
Serie di Fourier Definizione di polinomio trigonometrico, ortogonalità e proiezioni, esistenza di una base ortonormale per le funzioni periodiche; teorema sulla convergenza di una serie di Fourier, teoremi
sulla sviluppabilità in serie di Fourier di una funzione periodica, uguaglianza di Parseval; calcolo dei
coefficienti di Fourier di una funzione sviluppabile in serie.
♦ Equazioni differenziali
Equazioni differenziali lineari del second’ordine Definizione, principio di sovrapposizione;ricerca delle soluzioni di un’equazione omogenea, integrale generale; ricerca di una soluzione particolare dell’equazione
completa con il metodo di somiglianza.
Sistemi lineari di due equazioni del prim’ordine Definizione, collegamento con le equazioni del second’ordine; soluzione tramite ricerca di autovalori e autovettori della matrice associata.
♦ Calcolo differenziale in più variabili
Topologia nel piano Definizione di intorno di un punto; insiemi aperti, chiusi, limitati, connessi, semplicemente connessi.
Funzioni di più variabili Insiemi di definizione, insiemi di livello; limiti e continuità.
Calcolo differenziale Derivabilità e differenziabilità, relazioni con la continuità; derivate successive e derivate di funzioni composte.
Ottimizzazione Formula di Taylor del second’ordine per funzioni di due variabili. Ricerca di estremi
liberi, matrice hessiana e relazione con le forme quadratiche; ottimizzazione vincolata: metodo dei
moltiplicatori di Lagrange.
♦ Superfici
Superfici cartesiane Definizione, piano tangente.
Superfici parametriche Definizione, piano tangente e vettore normale; trasformazione dalla forma
cartesiana alla forma parametrica.
♦ Campi vettoriali
Definizioni:Definizione di campo vettoriale, di divergenza e di rotore di un campo vettoriale. Lavoro di un
campo vettoriale lungo una linea γ.
Campi conservativi Definizione e proprietà; potenziale; condizione necessaria e condizione sufficiente
per affermare che un campo vettoriale è conservativo.
♦ Calcolo integrale in più variabili
Integrazione multipla Definizione di integrale doppio su un dominio rettangolare; insiemi x-semplici o y-semplici, formula di riduzione di un integrale doppio; integrali doppi con cambiamento di variabili,
jacobiano; integrali tripli per fili e per strati.
Integrali di superficie Elemento di area, integrale di una funzione su una superficie Σ.
Integrali e campi vettoriali Superfici orientabili; definizione di flusso di un campo vettoriale F attraverso
una superficie Σ; teorema della divergenza; teorema di Stokes; formule di Gauss-Green nel piano.