Appunti completi Analisi e geometria 1

Descrizione

Insiemi e logica. Sommatoria e coefficienti binomiali. Principio di induzione. Disuguaglianza di Bernoulli (*). Irrazionalità di sqrt(2) (*). R è un campo totalmente ordinato con la proprietà del sup. Radici, potenze e logaritmi. Definizione di C. Forma algebrica e forma trigonometrica dei numeri complessi. Proprietà dei numeri complessi (*). Prodotto e quoziente in C (*). Potenza di un numero complesso. Formula di De Moivre (*). Radici n-esime in C. Radici n-esime in C. Forma esponenziale di un numero complesso. Trasformazioni geometriche nel piano complesso. Esercizi sui numeri complessi. Definizione di successione. Successioni limitate. Successioni regolari (convergenti e divergenti) e irregolari. Ogni successione convergente è limitata. Ogni successione divergente è illimitata. Teorema di unicità del limite per successioni (*) . Teorema di permanenza del segno (*) . Teorema del confronto (per la convergenza) (*) . Teorema del confronto (per la divergenza) (*). Applicazioni del teorema del confronto (*). Successioni monotone. Legame fra successioni monotone, limitatezza/illimitatezza e convergenza/divergenza (*). Algebra dei limiti. Limiti notevoli. Il numero di Nepero. Infiniti ed infinitesimi e loro confronto: criterio del rapporto e gerarchia degli infiniti. Asintotici e o-piccoli. Definizione topologica di limite di funzioni reali di variabile reale. Intorni, punti isolati, punti di accumulazione. Asintoto orizzontale. Asintoto verticale. Asintoto obliquo. Teorema del ponte e definizione successionale di limite di funzioni. Definizione di funzione. Funzioni reali di variabile reale e loro proprietà: funzioni simmetriche. Funzioni iniettive, suriettive e/o biunivoche, funzioni limitate, funzioni monotone, funzioni periodiche. Funzioni elementari: funzione potenza, funzione valore assoluto, funzioni esponenziali e logaritmiche, funzioni trigonometriche, funzione segno, funzione parte intera e mantissa, funzioni iperboliche, funzioni definite a tratti. Grafici deducibili dalle funzioni elementari mediante trasformazioni geometriche: f(x+a), f(x)+a, af(x), f(|x|), |f(x)|. Domini, zero e segno di funzioni. Funzioni continue. Teorema di continuità della funzione composta. Continuità delle funzioni elementari (*). Stime asintotiche e grafici qualitativi. Esercizi su grafici qualitativi con stime asintotiche. Teoremi sulle funzioni continue: Teorema di Weierstrass, Teorema degli zeri (*), Teorema dei valori intermedi (*). Necessità delle varie ipotesi nei precedenti teoremi (*). Punti di discontinuità. Funzioni monotone e continuità della funzione inversa. Funzioni composte ed inverse, funzioni trigonometriche inverse, funzioni iperboliche inverse. Concetto di derivata. Continuità delle funzioni derivabili (*). Retta tangente. Differenziabilità. Legame fra derivabilità e differenziabilità (*). Algebra delle derivate (*). Regole di derivazione. Derivata della funzione composta. Derivata della funzione inversa. Punti stazionari e punti estremanti. Teorema di Fermat (*). Teorema di Rolle (*). Teorema di Lagrange o del valor medio (*). Test di monotonia e riconoscimento dei punti stazionari (*). Punti di massimo e di minimo assoluti e relativi. Limite della derivata e derivabilità (*). Teorema di de l’Hopital. Formula di Taylor con resto di Peano (*). Esercizi sulla formula di Taylor. Funzioni concave, convesse e punti di flesso. Studi di funzione.

Primitive ed integrali indefiniti. Prime proprietà. Esempi di funzioni che non ammettono primitiva: y=sgn(x) (*). Calcolo di primitive. Formula di integrazione per parti (*). Formula di integrazione per sostituzione (*). Uniforme continuità. Esempi di funzioni uniformemente continue (*) ed esempi di funzioni non uniformemente continue (*). Legame fra continuità e uniforme continuità. Il Teorema di Heine-Cantor. Le funzioni derivabili con derivata prima limitata sono uniformemente continue (*). Esercizi sul calcolo di primitive: integrali immediati, per parti, per sostituzione ed integrazione delle funzioni razionali. Definizione/costruzione dell’integrale di Riemann tramite le somme superiori e le somma inferiori. Esempi di funzioni Riemann-integrabili (*) ed esempi di funzioni non integrabili secondo Riemann (la funzione di Dirichlet) (*). Le funzioni continue su un compatto sono Riemann-integrabili (*). Proprietà dell’integrale di Riemann: linearità e additività. Teorema di annullamento. Proprietà della media integrale (*). Teorema fondamentale del calcolo integrale (TFCI) (*). Formula fondamentale del calcolo integrale (*).  Integrali generalizzati (o impropri). Criteri di convergenza degli integrali generalizzati: criterio del confronto e criterio del confronto asintotico.  Grafici qualitativi di funzioni integrali. Serie numeriche convergenti, divergenti e irregolari. Definizioni e primi esempi. Serie geometriche. Serie a termini di segno costante. Condizione necessaria per la convergenza di una serie a termini di segno costante (*). Criterio del confronto (*). Criterio del confronto asintotico (*). Criterio della radice (*). Criterio del rapporto (*). Serie a termini di segno variabile. Criterio di Leibniz. Vettori nel piano e nello spazio. Operazioni fra vettori: somma, differenza, prodotto di un vettore per uno scalare, prodotto scalare di due vettori, prodotto vettoriale di due vettori, prodotto misto di vettori. Lo spazio R^n. Prodotto scalare in R^n. Norma. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (*). Distanza. Angoli. Proiezioni ortogonali. Geometria analitica nello spazio. Equazione della retta. Equazione del piano. Parallelismo e ortogonalità fra due piani. Retta intersezione di piani. Formula della distanza fra un punto ed un piano (*). Posizione reciproca di due rette: complanari, parallele, sghembe. Distanza fra rette. Fasci di piani. Equazioni di circonferenza e di sfere nello spazio. Funzioni a valori vettoriali, limiti e continuità. Curve nel piano e nello spazio. Forma parametrica di una curva. Curve chiuse, semplici, piane e regolari. Curve rettificabili. Lunghezza di una curva (*). Integrali di linea di prima specie.