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appunti di algebra lineare e geometria, con dimostrazioni e teoremi per l’esame. Gli appunti sono relativi all’anno accademico 2019/2020 e riguardanti le lezioni del professore Roberto Baviera al Politecnico di Milano nella facoltà di ingegneria civile.
argomenti trattati:
Rappresentazione algebrica, modulo, coniugato, piano di Gauss, rappresentazione trigonometrica e esponenziale. Formula di De Moivre e radici ennesime di un numero complesso.
Nozioni fondamentali, teorema di Cramer e teorema di Rouché-Capelli, metodo di eliminazione di Gauss.
Vettori geometrici e operazioni algebriche sui vettori geometrici. Generalità sulle matrici, operazioni, determinante, rango, inversa di una matrice quadrata.
Operazioni tra vettori, sottospazi, somma ed intersezione di sottospazi. Generatori, dipendenza/indipendenza lineare, basi e dimensione. Coordinate di un vettore rispetto a una base. Cambio di base.
Generalità, nucleo ed immagine, applicazioni lineari e matrici.
Nozione ed esempi di autovalori e di autovettori. Interpretazione geometrica. Polinomio caratteristico ed equazione caratteristica. Similitudine di matrici. Diagonalizzazione degli endomorfismi e teoremi relativi.
Prodotto scalare euclideo in R^n. Prodotto vettoriale, prodotto misto, modulo, angolo, ortogonalità tra vettori. Espressione cartesiana del prodotto scalare e del prodotto vettoriale. Basi ortonormali. Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Diagonalizzazione ortogonale di matrici reali e simmetriche. Teorema spettrale. Forme quadratiche: segno e riduzione a forma canonica.
Riferimento cartesiano ortogonale monometrico, nel piano e nello spazio. Rappresentazioni di punti e rette. Equazioni di rette e piani, parametri direttori di rette e piani. Distanze, angolo tra due rette, parallelismo e perpendicolarità tra rette. Parallelismo e ortogonalità tra piani. Angolo tra rette e piani. Proiezione di una retta su un piano. Parallelismo e ortogonalità tra rette e piani. Rette sghembe e minima distanza. Fasci di rette, fasci di piani.
Proprietà elementari, equazioni canoniche, riduzione a forma canonica, riconoscimento.
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