Descrizione
1. Probabilità. Definizione assiomatica di probabilità; spazio dei campioni, eventi, probabilità. Proprietà della funzione di probabilità. Probabilità condizionata e indipendenza stocastica. Formule delle probabilità totali e di Bayes, regola del prodotto. Prove di Bernoulli. Esempi ed applicazioni.
2. Variabili aleatorie. Variabili aleatorie e funzione di ripartizione. Variabili aleatorie discrete e assolutamente continue e loro funzioni di densità. Valore atteso e varianza; deviazione standard. Esempi di distribuzioni notevoli: distribuzione uniforme discreta, di Bernoulli, binomiale, geometrica, di Poisson, ipergeometrica, uniforme continua, esponenziale, gamma, normale; loro principali proprietà e applicazioni. Affidabilità: intensità di guasto, modelli per tempi di vita, distribuzione di Weibull. Funzione di una variabile aleatoria: metodo della funzione di ripartizione. Proprietà di valore atteso e varianza. Momenti di una distribuzione. Disuguaglianza di Chebichev. Trasformazioni affini di variabili aleatorie; loro effetto su media, varianza e densità; standardizzazione di una variabile aleatoria. Funzione generatrice dei momenti e sue proprietà. Esempi e applicazioni.
3. Vettori aleatori. Vettore aleatorio; funzione di ripartizione congiunta e funzioni di ripartizione marginali. Densità assolutamente continue e densità discrete congiunte e marginali. Indipendenza di variabili aleatorie e di vettori aleatori. Densità condizionali (caso discreto, assolutamente continuo) e valore atteso condizionale. Funzioni di vettori aleatori discreti e assolutamente continui. Massimo e minimo di variabili aleatorie. Trasformazioni affini. Somma di variabili aleatorie. Somma di variabili aleatorie di Poisson indipendenti, di gamma indipendenti, di normali indipendenti. Valore atteso di una funzione di un vettore aleatorio. Valore atteso della somma di variabili aleatorie. Valore atteso del prodotto di due variabili aleatorie indipendenti. Covarianza, coefficiente di correlazione lineare e loro proprietà. Varianza della somma di variabili aleatorie. Matrice di covarianza. Distribuzioni normali multivariate. Esempi e applicazioni.
4. Distribuzioni campionarie e teoremi limite. Campione aleatorio e statistiche. Media campionaria, suo valore atteso e sua varianza. Varianza campionaria e suo valore atteso. Legge debole dei grandi numeri. Teorema centrale del limite. Approssimazione normale della densità binomiale e di Poisson. Distribuzione congiunta di media e varianza campionarie per un campione gaussiano. Distribuzioni chi-quadro, t di Student.
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