equazioni differenziali – POLIMI – ingegneria civile- Claudio citrini

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teoria completa tramite dispense del docente aggiornate, corrette e con note varie scritte a PC, esercizi e schemi sui seguenti temi:

Successioni e serie di funzioni:

• Convergenza puntuale e uniforme, convergenza integrale, convergenza in media quadratica. Criteri di convergenza (Cauchy e Weierstrass).
• Teoremi di passaggio al limite, derivazione e integrazione per serie e per successioni.
• Cenno alle funzioni analitiche: condizioni di Cauchy – Riemann.
• Serie di potenze (serie di Taylor) nel campo reale e complesso: raggio e cerchio di convergenza: teoremi e criteri relativi. Teorema di Abel. Analiticità della somma di una serie di potenze.
• Serie e funzione esponenziale nel campo complesso: formula di Eulero. Le funzioni e le serie trigonometriche, logaritmica, dell’arcotangente e binomiale.
• (*) Serie di Fourier in forma trigonometrica ed esponenziale; criteri di convergenza puntuale, uniforme e in media quadratica. Uguaglianza di Parseval.

Equazioni differenziali ordinarie:

• Problema di Cauchy, esistenza di soluzioni locali e globali, dipendenza continua dai dati. Integrali particolari e di frontiera. Studio qualitativo di equazioni differenziali.
• Equazioni risolubili mediante quadrature (a variabili separabili, lineari, di Bernoulli, omogenee, esatte; equazioni del secondo ordine, integrali primi)
• Equazioni e sistemi lineari, principio di sovrapposizione, matrice wronskiana, teorema di Jacobi. Integrale generale di un sistema completo; metodo di variazione delle costanti. Il caso dei sistemi e delle equazioni a coefficienti costanti. Esponenziale di una matrice.
• Problemi ai limiti, autovalori e autosoluzioni per equazioni differenziali lineari.
• Cenni alle equazioni in forma non normale, integrali singolari.

(*)Analisi funzionale:

• Spazi metrici, normati. Completezza, spazi di Banach.
• Teorema delle contrazioni e sue applicazioni.
• Integrale di Lebesgue, spazi di Sobolev (cenno)
• Prodotto scalare, spazi di Hilbert, sviluppi di Fourier generalizzati (uguaglianza di Parseval).

 (*) Equazioni alle derivate parziali:

• Equazioni del primo ordine, caratteristiche.
• Classificazione delle equazioni e dei sistemi del secondo ordine; caratteristiche. Equazione del calore, delle onde e di Laplace. Funzioni analitiche e funzioni armoniche. Teorema della media e principio del massimo per equazioni ellittiche e paraboliche. Dominio di dipendenza per problemi di evoluzione. Regolarità delle soluzioni.
• Buona posizione di un problema. Problemi per equazioni differenziali alle derivate parziali dei vari tipi: di Cauchy, Darboux, Goursat, Dirichlet, Neumann, e problemi misti.
• Generalizzazioni (cenni): concetto di soluzione debole, principio di Dirichlet.