Appunti completi di Geometria e Algebra Lineare (GAL)

MATRICI E VETTORI GEOMETRICI
Vettori geometrici. Algebra delle matrici. Rango e metodo di Gauss. Matrice inversa e algoritmo di Gauss-Jordan. Determinante, interpretazione geometrica, operazioni su righe e colonne, teorema di Binet.

SISTEMI LINEARI
Nozioni fondamentali. Forma matriciale di un sistema lineare. Teorema di Rouché-Capelli. Procedimenti di risoluzione di un sistema lineare. Sistemi lineari omogenei.

SPAZI VETTORIALI
Assiomi di spazio vettoriale. Sottospazi. Indipendenza lineare, generatori, basi, dimensione. Spazio delle righe, delle colonne, e nucleo di una matrice. Teorema di nullità più rango. Coordinate di un vettore rispetto a una base. Forma parametrica e cartesiana di un sottospazio. Somma e intersezione di sottospazi.

APPLICAZIONI LINEARI
Generalità, nucleo ed immagine. Applicazioni lineari iniettive, suriettive, isomorfismi. Composizione e applicazione inversa. Matrice rappresentativa di un’applicazione lineare. Matrice del cambio di base.

Autovalori e autovettori. Interpretazione geometrica. Polinomio caratteristico. Endomorfismi diagonalizzabili. Matrici simili. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Criteri di diagonalizzabilità.

SPAZI EUCLIDEI
Prodotto scalare, norma, angolo e ortogonalità tra vettori. Prodotto scalare standard. Disuguaglianza di Schwarz, teorema di Carnot, disuguaglianza triangolare, teorema di Pitagora generalizzato. Basi ortogonali e ortonormali. Algoritmo di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale. Proiezioni ortogonali. Isometrie e matrici ortogonali. Endomorfismi simmetrici e matrici simmetriche. Diagonalizzazione ortogonale e teorema spettrale. Forme quadratiche. Matrici congruenti. Segnatura, teorema di Sylvester, classificazione delle forme quadratiche.

COORDINATE CARTESIANE E GEOMETRIA ANALITICA LINEARE
Sottospazi affini e giacitura. Parallelismo. Forma parametrica e cartesiana. Intersezione e distanza tra sottospazi affini. Punti, rette, piani nello spazio.  Perpendicolarità tra rette e piani. Rette sghembe.

CONICHE E QUADRICHE
Generalità. Equazione in forma matriciale. Classificazione metrica e affine di coniche e quadriche. Riduzione in forma canonica. Considerazioni geometriche: centro, asse, vertice, rette e piani di simmetria, quadriche di rotazione.